Physical Reviwe, Baym (1962)の（３５）式についてです。
これは微分形式の可積分性の話である。単純化して言えば、「二階偏微分は微分順序の交換が可能である。その逆も言えて、もし微分形式の係数が交換可能であれば完全微分になる」という話である（ f_i(x_1,x_2,x_3...,x_N) i=1,2,3,...Nに対して \frac{\partical f_i}{\parical x_j}=\frac{\partical f_j}{\parical i} ならば、母関数Fが存在して f_i= \frac{\partical F}{\parical x_i} となるという話）。そうだとするともし、Baym論文のように保存近似の意味をUという外部摂動に対してGが変化し\Sigmaも変化する。
ルジャンドル変換でUのかわりにGを変数と見て汎関数としての\Sigm[G]を考える。
この摂動下で保存則を満たす場合（＝エネルギーなどの時間的変化量が表面積分で書けること＝カレントが定義できる）の\Sigma[G]の満たすべき条件とは？
という問題設定で考えるなら、
「上記の意味で保存則を満たす\Sigma[G]はGについて可積分である。
すなわち、なんらかの(系の対称性をもつ）\Psi[G]が存在し、その汎関数微分として\Sigma[G]は与えられる。」
という結論になる
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外場をいれたルジャンドル変換から、
Omega[G]=TrlmG + Tr G0^-1G +Psi[G]
において微分項は二項目のみに入っている。
\Delta Omega を変形して、部分積分（ガウスの定理）でバルク項＋表面項にわける 。
バルク項は、オイラーラグランジュ方程式から消える。これが保存則となる。
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Gammaを作る。
１．あらかじめPsi[G]の構築にGammaを仕込んでおく
２．Psi[G]から出発してGammaを構成する？
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Ward恒等式は自己エネルギーと上述のGammaの関係式。
Baym and Kadanoff showed that we can satisfy conservation laws for any functional <math>\Phi\left[G\right]</math>, thanks to the Noether's theorem. This is followed by the fact that the equation of motion of <math>G</math> responding to one-body external fields apparently satisfies the space- and time- translational symmetry as long as the equation of motion is given with the derivative of <math>\Phi\left[G\right]</math> <ref name=baym61/>. Note that reverse is also true. Based on the diagramatic analysis, what Baym found is that
<math>\frac{\delta \Sigma(1,\left[G\right])}{\delta G(2)}=\frac{\delta \Sigma(2,\left[G\right])}{\delta G(1)}</math>
is needed to satisfy the conservation low. This is nothing but the completely-integrable condition, implying the existence
of <math>\Phi\left[G\right]</math> such that <math>\Sigma\left[G\right]=\frac{\delta \Phi\left[G\right]}{\delta G}</math>
(recall the case of the completely-integrable condition for simple two variable function <math>f(x,y)</math>).
